No outono de 2021, Malors Espinosa decidiu criar um tipo especial de problema matemático. Como toda boa questão de pesquisa, ela teria de ser instigante, sua solução não trivial - algo que outras pessoas gostariam de estudar. Mas uma restrição adicional o deixou perplexo. Malors, na época um estudante de pós-graduação em matemática na Universidade de Toronto, queria que os alunos do ensino médio pudessem provar isso.
Durante anos, Malors realizou workshops de verão para alunos do ensino médio local, ensinando-os sobre ideias básicas de pesquisa matemática e mostrando-lhes como escrever provas. Mas alguns de seus alunos pareciam prontos para fazer mais - para descobrir o que significa fazer matemática quando não há uma chave de resposta. Eles só precisavam da pergunta certa para orientá-los.
Malors finalmente encontrou uma ao ler um livro didático sobre o caos. Em suas páginas, ele se deparou com um objeto familiar: um fractal, ou forma autossimilar, chamado de esponja de Menger, que tem uma construção simples, mas elegante. Primeiro, divida um cubo no que parece ser um cubo de Rubik. Remova o cubo no centro, juntamente com o cubo central de cada uma das seis faces. Em seguida, repita esse processo para cada um dos 20 cubos restantes. E repita. E repita. Você verá rapidamente por que o fractal resultante é chamado de esponja: A cada iteração, seus poros se multiplicam exponencialmente.
Desde que Karl Menger apresentou seu fractal esponja, há quase um século, ele tem capturado a imaginação de matemáticos profissionais e amadores. Um dos motivos: ela tem um visual bacana. Em 2014, centenas de entusiastas da matemática participaram de um esforço global, chamado MegaMenger, para construir versões finitas da esponja de 200 libras a partir de cartões de visita. Devido à sua estrutura porosa e semelhante a uma espuma, a esponja também foi usada para modelar amortecedores e formas exóticas de espaço-tempo.
Mas o mais importante é que o fractal possui várias propriedades matemáticas contraintuitivas. Continue retirando pedaços cada vez menores e o que começou como um cubo se tornará algo totalmente diferente. Após um número infinito de iterações, o volume da forma diminui para zero, enquanto sua área de superfície cresce infinitamente. Essa é a estranheza dos fractais: pairando em algum lugar entre as dimensões, ocupando espaço sem preenchê-lo de fato.
Quando definiu sua esponja pela primeira vez em 1926, Menger também provou que qualquer curva concebível - linhas e círculos simples, estruturas que se parecem com árvores ou flocos de neve, poeiras fractais - pode ser deformada e depois incorporada em algum lugar da esponja. Elas podem ser feitas para serpentear ao longo dos contornos convolutos da esponja sem nunca sair de sua superfície, bater em um buraco ou se cruzar. A esponja, escreveu Menger, era, portanto, uma “curva universal”.
Mas isso, Malors percebeu mais tarde, levantou uma nova questão. Menger havia provado que era possível encontrar um círculo em sua esponja. Mas e quanto aos objetos que eram equivalentes, em um certo sentido, ao círculo? Considere um nó matemático: um barbante que foi torcido e amarrado, com suas extremidades fechadas para formar um laço. Do lado de fora, pode parecer uma bagunça emaranhada. Mas uma formiga que caminhasse por ele acabaria voltando ao ponto de partida, exatamente como em um círculo. Dessa forma, todo nó é equivalente, ou “homeomórfico”, a um círculo.
A afirmação de Menger não fazia distinção entre curvas homeomórficas. Sua prova apenas garantia, por exemplo, que o círculo poderia ser encontrado em sua esponja - não que todos os nós homeomórficos poderiam ser encontrados, com seus laços e emaranhados ainda intactos. Malors queria provar que era possível encontrar todos os nós dentro da esponja.
Parecia ser a combinação certa para entusiasmar os jovens matemáticos. Eles haviam se divertido recentemente aprendendo sobre nós em seu seminário. E quem não gosta de um fractal? A questão era se o problema seria acessível. “Eu realmente esperava que houvesse uma resposta”, disse Malors.
E havia. Depois de apenas alguns meses de reuniões semanais no Zoom com Malors, três de seus alunos do ensino médio - Joshua Broden, Noah Nazareth e Niko Voth - conseguiram mostrar que todos os nós podem de fato ser encontrados dentro da esponja de Menger(abre uma nova guia). Além disso, eles descobriram que o mesmo pode ser dito de outro fractal relacionado.
“É uma maneira inteligente de juntar as coisas”, disse Radmila Sazdanovic, topologista da Universidade Estadual da Carolina do Norte que não participou do trabalho. Ao revisitar o teorema centenário de Menger, acrescentou ela, Malors - que geralmente faz pesquisas no campo díspar da teoria dos números - aparentemente fez uma pergunta que ninguém pensou em fazer antes. “Essa é uma ideia muito, muito original”, disse ela.
Uma maneira diferente de ver os nós
Broden, Nazareth e Voth participaram de vários workshops de verão de Malors ao longo dos anos. Quando ele os ensinou pela primeira vez sobre nós em um workshop anterior, “fiquei impressionado com a minha experiência de 14 anos”, disse Voth.
Mas o problema de Menger seria a primeira vez que eles iriam além das apostilas escolares com chaves de respostas. “Foi um pouco estressante, porque era a primeira vez que eu estava fazendo algo em que realmente ninguém tinha a resposta, nem mesmo Malors”, disse Nazareth. Talvez não houvesse resposta alguma.
Seu objetivo era essencialmente enfiar uma agulha de costura microscópica em uma nuvem de poeira - o material que restou da esponja após muitas remoções. Eles teriam que enfiar o alfinete nos lugares certos, amarrar os nós emaranhados com precisão imaculada e nunca deixar a esponja. Se a linha acabasse flutuando nos orifícios vazios da esponja por qualquer nó, era fim de jogo.
Não era uma tarefa fácil. Mas havia uma maneira de simplificá-la. Os nós podem ser representados em uma folha de papel plana como diagramas especiais chamados de apresentações de arco. Para criar um, você começa com informações sobre como os fios do seu nó passam na frente ou atrás um do outro. Em seguida, aplica-se um conjunto de regras para traduzir essas informações em uma série de pontos em uma grade. Cada linha e coluna da grade conterá exatamente dois pontos.
Conecte esses pontos com linhas horizontais e verticais. Sempre que dois segmentos se cruzarem, desenhe a linha vertical na frente da horizontal.
Todos os nós podem ser representados dessa forma de grade. Embora uma apresentação em arco possa, às vezes, parecer mais complicada do que outras formas de desenhar o nó, ela facilita para os matemáticos o estudo de algumas das propriedades mais importantes do nó.
Quando os alunos consideraram os diagramas de linhas cruzadas, eles se lembraram das faces da esponja de Menger. Seria bastante simples colocar as linhas horizontais de uma apresentação em arco em uma face da esponja e as linhas verticais em sua face oposta. A dificuldade estaria em descobrir como conectar o nó - como esticá-lo de volta para três dimensões. Em cada um dos cantos da apresentação do arco, as duas faces precisariam ser conectadas através do interior da esponja sem atingir acidentalmente um buraco.
Para garantir que isso fosse sempre possível, os matemáticos recorreram ao que é conhecido como conjunto de Cantor, um análogo unidimensional da esponja de Menger. Para construir o conjunto, comece com um segmento de linha e divida-o em terços. Remova o terço do meio, depois faça o mesmo com os dois segmentos restantes e assim por diante, ad infinitum. Você ficará com uma dispersão de pontos.
A equipe considerou tanto uma esponja de Menger quanto um conjunto de Cantor que passaram pelo mesmo número de etapas de remoção. Nos pontos das faces da esponja cujas coordenadas estão ambas no conjunto de Cantor, eles perceberam que não deveria haver um buraco. Além disso, também não deveria haver buracos em nenhum lugar diretamente atrás desses pontos, graças ao design repetitivo da esponja. Portanto, um nó estaria livre e desimpedido para passar por ele sem acidentalmente saltar para fora do material da esponja.
Tudo o que restava, então, era os alunos mostrarem que sempre poderiam comprimir ou esticar a apresentação do arco de um determinado nó de modo que todos os seus cantos ficassem alinhados com as coordenadas no conjunto de Cantor. (Essa compressão e alongamento foram permitidos porque não afetariam a estrutura geral da apresentação do arco e, portanto, o nó que ele representa).
Para concluir essa etapa final, Broden, Nazareth e Voth usaram um atalho. Eles provaram que poderiam deformar qualquer apresentação de arco de modo que os pontos em que seus segmentos verticais e horizontais se cruzassem estivessem no conjunto de Cantor. Isso garantia automaticamente que o maior número de cantos também se alinharia com o conjunto de Cantor. Em outras palavras, eles sempre poderiam incorporar um determinado nó em alguma iteração da esponja de Menger.
Agora que haviam respondido à pergunta original de Malors, eles queriam levar o resultado adiante. Eles já haviam começado a investigar se todos os nós também poderiam ser incorporados em uma versão tetraédrica da esponja de Menger:
“Foi surpreendentemente incômodo”, disse Broden. Sem a conveniência de faces alinhadas diretamente opostas umas às outras, seu método para empurrar os nós através do fractal não funcionaria mais.
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Medido por nós
Foi nesse estágio, de acordo com Malors, que os alunos aprenderam a dor da pesquisa matemática - que grande parte da disciplina envolve a luta contra o fracasso de uma promissora via de ataque. “Estamos enfrentando a matemática, e a matemática não tem piedade”, disse ele. “Com a matemática apresentada aos alunos do ensino médio, eles geralmente são protegidos contra isso.”
Malors, por sua vez, estava convencido de que o chamado nó de trevo não poderia ser encontrado no tetraedro. Durante uma chamada pelo Zoom, os três alunos reagiram. Eles saíram da reunião, segundo lembram, sentindo-se desanimados e frustrados. Mas decidiram seguir seus instintos. Algumas semanas depois, para surpresa de Malors, eles voltaram com um resultado: Eles haviam descoberto uma nova maneira de mapear a apresentação do arco do nó trifólio no tetraedro. Posteriormente, eles provaram que isso poderia ser feito para todos os nós “pretzel”, a classe mais geral de nós que os nós “pretzel” são chamados de nós “pretzel”.
Malors conjectura que os métodos dos alunos podem oferecer uma maneira de medir a complexidade dos fractais de forma mais ampla. Nem todos os fractais têm a garantia de admitir todos os tipos de nós. Talvez sua estrutura possa ser melhor compreendida com base nos tipos de nós que podem ou não conter.
No mínimo, o trabalho poderia inspirar uma nova arte, semelhante ao concurso MegaMenger de 2014. “Seria ótimo ver isso construído com materiais físicos”, disse Allison Moore, teórica de nós da Virginia Commonwealth University.
Nesse meio tempo, Broden, Nazareth e Voth já se formaram no ensino médio. Apenas Broden decidiu continuar trabalhando no problema do tetraedro - quando não estiver ocupado com os cursos da faculdade - mas os três estão pensando em seguir carreiras na área de matemática. “Parece significativo que eu esteja tentando contribuir para algo maior do que eu, para a natureza da verdade”, disse Nazareth. Tudo começa com a pergunta certa.
História original republicada com permissão da Quanta Magazine, uma publicação editorialmente independente apoiada pela Simons Foundation. Leia o conteúdo original em Teen Mathematicians Tie Knots Through a Mind-Blowing Fractal
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